零的历史-第24章

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　　　　在我们所见到的建筑物的背后，我们是背景的转换者和操纵者：在世界从何来又向何处去的问题上，是不见其人的伴侣。这种抽象是伟大的典型不可避免的结果，永远的真实与永远的不被忘却是等同的。在这种稀薄的大气压力下，0将承担另一个变形体，那就是使自己适合苦行者的生活格言。　　　　
　　　　由于印度数学家将重点从它们是什么转移到了它们做了什么，我们看到了0变成了像其他数一样的一个数。后来，由于它们变得在解方程式中有价值，因此它们的地位得到改变，在谈到结构时，在语言中开始出现迹象，数字不再是抽象的事，而是一个实在的物。我们不仅可以说“四棵树”，而且可以只说4；不仅可以说是0个千，还可以单说0。现在由于我们试图明白这些数字是如何工作的，我们明白（用我们的格言）把它们放在一起就比它们本来单独存在时要多：如果我们完全理解了加和乘的操作，把数字相加或相乘的结果，就犹如在夏日里水果会成熟一样另人深信不疑。　　　　
　　　　分配的原理告诉我们加法和乘法是如何相互作用的。应用牛顿的观点我要思考什么，因此得到了其他的原理。牛顿研究万有引力，他停止问这是什么（流体、物质、力），而是问它是如何工作的。随着他的关注中心从古老的问题上转移到更加抽象的力学问题上，在重力的影响下，他发现天体间的相互吸引力与它们之间的距离的平方成反比。最终证实这对于理解这个世界，以及预测天体在宇宙中的位置非常有用。　　　　
　　　　用同样的精神，数学家们逐渐地不再追问加法和乘法是什么，而是坐下来开始整理它们是如何运算的。考虑到避免被无关的运算名称和符号所误导，遂用中性符号“*”表示，也就逐渐形成了以下原理：　　　　
　　　　1。将任意两个数a和b相加或相乘，将得到另一个数c。即a*b=c　　　　
　　　　2。a和b的顺序并不重要，结果是一样的，即a*b=b*a　　　　
　　　　3。当你对三个数a、b、c进行运算时，无论你如何组织它们，结果是一样的：a*（b*c）=（a*b）*c　　　　
　　　　4。有一个特殊的数，我们称之为e，对于任何一个数a与e相加或相乘，其结果均为a：a*e=a　　　　
　　　　5。对任意数a，还有另外一个数a’，当a与a’相加或相乘时就得到了这个特别的数e：a*a’=e　　　　
　　　　这些原理告诉你关于加法和乘法的所有规则，但是我们感兴趣的是加和乘，＋和·。用*其结果是什么呢？奇怪的是，似乎都可以描述。加并不是乘：2＋3≠2·3。经过这种严格的区分，我们还不简化自己吗？　　　　
　　　　0的出现拯救了时代，如定理4中所描述的那个特定的数字e是什么呢？对加法来说，e是0：也就是说a＋0=0。然而对于乘法来说e是1：a·1=a。0因为卸下历史加在它身上的布袋，成为加法的助手，为被加数本身。同样1也被分离出来，所有的数与1相乘后总是被乘数本身。重新回到*，我们必须区分它的两个形式：0≠1。　　　　
　　　　这个认识促使原理5也需要修改，对加法而言是对的，如果将*换为＋，e是0：每个数都有其负数a’，我们记为…a，因此a*a’就转化为a＋（…a）=0。在没有日期的评判方法之前，0表示界于过去与未来之中的现在。在复式的簿记上，0表示借款与贷款的平衡。正数通过这个神气的环，正数的求助于负数，尽管温斯顿·邱吉尔餐后的观点是这样的：　　　　
　　　　对数学我曾经有一种预感，我明白了它的全部，深奥的和浅显的都向我展示。有人可能看到了维纳斯像，甚至是市长阁下的展览，而我看到无限数字中的一个数，且看到它从正到负改变着自己的符号。我确实看到了这是怎么发生的；为什么背叛是无法避免的？但这是在晚饭后，我也随它去了。　　　　
　　　　但是对于乘法，原理5就不再完全正确了。我们说任何数除了0都有其倒数，通常记作　，因此a*a’=e，即为　。0或许是加法的助手，而乘法保留了它的反叛地位。　　　　
　　　　顺便说一下，分配律意识到了加法和乘法中的不对称特点，它告诉我们a·（b＋c）=a·b＋a·c。但是你不能改变这里的＋和·的作用：a＋（b·c）=（a＋b）·（a＋c）这就不正确了。　　　　
　　　　沿着光荣足迹走过来的我们；非常困难去重新理解那些只有0和1是实数的规律，所有的其他数字以及其它行为都要受到这些规律的支配。那些回到过去并对这些规律提出质疑的人必须等到这些规律提出者回来，并遵守诺言保持这些规律。但是莱克格斯（Lycurgus；　9世纪斯巴达立法人，被认为是斯巴达法典的创立者——译者注）再也没有回来：这是他给予斯巴达的礼物。


第三部分　费尽周折第27节　无穷小（1）

　　　　懒洋洋地走向伯利恒（Bethlehem）　　　　
　　　　只有选择遗忘过去才能让我们继续前进，将曾经不确定的东西作为确信的最平常的东西，将通过努力得到的东西作为我们生来就有的权利。对待零也应该这样。他被说成从一个位置符号浓缩为我们字母表中的一个字母，在数学的初级读本中把它作为一个解决等式的量。　　　　
　　　　到十七世纪，我们关于等式本身的态度改变了。当我们的兴趣从事情是什么转移到他们如何得来时，世界的动态变化映射关系是服从函数关系的。零的绝对的本性毫无疑问担负着最惊人的转换。　　　　
　　　　聚于焦点的问题是运动的问题。如何预测行星的轨道或完成一个炮弹的飞行轨迹？困难在于两者沿弯曲路径运行，而从希腊的几何学开始，我们所有的理解依据都是直线。例如，如果我们知道一条曲线上某点的斜率，我们仅仅可以说出它在哪里开头——但是在曲线的一个点处它是怎么有一个斜率呢？把曲线放在一个坐标平面上是有助于说明问题的（很幸运它已经被费马（Fermat　1601…1665　法国数学家，他有系统地阐述了现代数理论和概率论）和他同时代的笛卡尔（法国哲学家、数学家；1596…1690）发明出来，我们可能已经知道他们）。　　　　
　　　　　　　　　
　　　　坐标平面　　　　
　　　　因此它看起来就下图：　　　　
　　　　　　　　　
　　　　但是斜率是属于直线，如下所示，从A到P的路径，在产生一个水平距离x的同时上升一个垂直的量y——我们说他的斜率是比值y/x（因此一个1比10的斜坡每前进十个单位就上升一个单位：对于汽车来说可以忽略，对于骑脚踏车的人来说令人疲乏不堪）。　　　　
　　　　　　　　　
　　　　通过画曲线的切线，即使冒险猜想一条平滑曲线在某点的斜率是什么的，也一定会引起一些人的暴怒和另外一些人的嘲笑。晚至十九世纪，叔本华（Schopenhauer，1788…1860；　德国哲学家）还依然踌躇在半悲观之中，他引用一个幽默作为他愚蠢的理论的证据（这个笑话好像是讲这里既有角度又没有角度。它一定是他讲述的方法）。　　　　
　　　　　　　　　
　　　　这个问题的令人吃惊的解决方法依赖于由来已久的思想：希腊人的思想不时的产生出新的思想；小书写体（minuscule，一种在7世纪至9世纪之间从安色尔字体发展而来的小的手写字体，用于中世纪时的书写——译者注）的秘密，随后复兴并且被修改；艺术家对衬垫和齿条欣赏；我们对除法的日渐熟悉和对除法得到的余数的关心。在17世纪早期，人们开始广泛玩弄像这样的概念。被讨论的曲线由一些方程式或公式给出。我将用我们现代的叙述方法和现代的符号来说明一个函数f（x）的曲线图，并且我使用二次方的函数作为示例的模型，f（x）=x2。我想在曲线的某点P找到它的斜率。　　　　
　　　　曲线上的点P在x轴上的投影我称作r点：距离0为r的点。当r代入函数时，r点上部P点的高度和函数的值相同（它的路径就是曲线）：在我们的例子中，P点的高度为f（r），也就是r2。如果现在我们画出从r到P的直线，它的长就是f（r）。我们现在有P点的两个坐标值：水平坐标r，垂直坐标f（r）（在我们的例子中，是r和r2）。　　　　
　　　　因为切线是一条直线，两个点可以确定它。我们知道P点是其中之一。如果我们知道切线在哪里与x轴相交——我称那个点为A——我们将知到从A到r的线段长度（这个长度为k），因此我们知道比率f（r）/k，这就是曲线在P点处的切线的斜率：我们想要的斜率。　　　　
　　　　　　　　　
　　　　注意到f（r）和k是直角三角形的边，直角三角形的斜边AP是我们切线的一部分。这里就是魔法开始的地方。在x轴上r点的右边取任意一点，距离r点为h——因此这点在x轴上的坐标就是r＋h——并从该点垂直地画一条直线，交切线于C点，交曲线于D点。从点P画水平线与这条新的垂直线相交于B点。显然它的长度也是h。　　　　
　　　　　　　　　
　　　　我们不知道C点的y轴坐标，但是我们知道B点的y轴坐标和P点的y轴坐标相同为f（r）；并且D点的y轴坐标为f（r＋h）。　　　　
　　　　在我们的例子中；　　　　
　　　　　f（r＋h）=　（r＋h）2　　　　
　　　　就是　　　　
　　　　　r2＋2rh＋h2　　　　
　　　　我们为什么做出如此复杂的新图形呢？因为在这个图形中三角形PBC相似于三角形ArP，它们的边的比率　是我们想要知道的。　　　　
　　　　现在我们知道，相似三角形早在欧几里得（Euclid）以前就是几何学者的惯用手段，并且他们知道对应边的比率相等。因此，在这里　，因此如果我们仅仅知道BC的长度我们就可以求得结果。但是，当然我们不知道。我们知道BD的长度，可是：它是从x轴向上整个线段的长度（f（r＋h））减去从x轴到B的长度（f（r））。简而言之，它是　　　　
　　　　f（r＋h）—f（r）。　　　　
　　　　这就足够好了吗？不，因为C点不是D点。但是我们可以看到我们想要的比率　和　差不多。因此，如果我们拿起的点r＋h并开始缓慢的向左滑动，朝r的方向——缩短h，那也就是——垂直的直线将和它一起移动，并观察：CD的长度将变得越来越小，直到最后消失！三角形PBC和图形PBD将变的完全相同。　　　　
　　　　但是这里的魔法陷入了严重的麻烦。我们已经将h缩短到足够消失。那将使h=0：并且你知道我们不能用零去作除数。　　　　
　　　　数学使思想变得敏锐起来。我们仅仅考虑我们的例子，一直使用的平方函数上，希望提前找到一个解决的方法。在这个特殊的例子中，比率　　　　
　　　　　　　　　
　　　　就是　　　　
　　　　　　　　　
　　　　因为我们不能让h在分母的位置为0，让我们运算分子上的平方，并分解我们式子。我们得到　　　　
　　　　　　　　　
　　　　消掉r2和…r2，我们就得到　　　　
　　　　　　　　　
　　　　现在，随着我们的运气向前摸索，从分子中提取因数h得到　　　　
　　　　　　　　　
　　　　奇迹！消掉h，留给我们的仅仅是　　　　
　　　　2r＋h　　　　
　　　　现在让h缩小到0（费马说，对于一个点来说就是简单的：“移动它”）那么留给你的就是2r。2r就是是f（x）=x2在点（r，r2）的切线的斜率。因此，例如，在点（3，9）处的切线的斜率是2·3=6。尝试一下：你会发现你的测试确认了我们的结果。并且如果你感到有精力，尝试说明f（x）=x3在点（r，r3）处的斜率是3r2。　　　　
　　　　绝妙的、革命的——并且也非常有争议的。只要我们在适当的时刻，我们是否可以真用0去除呢？我们能否符合逻辑的搞清楚我们